jueves, 21 de mayo de 2009

Gandalf y los hobbits


Cualquier parecido con la realidad, es pura coincidencia...

jueves, 14 de mayo de 2009

Seminario IMATE Oaxaca de Mayo

Hola a todos,

El Instituto de Matemáticas, a través de la Escuela de Ciencias de la UABJO, les invita de manera cordial al Seminario de Matemáticas del IMATE-UNAM correspondiente al mes de Mayo. En esta ocasión tenemos el gusto de presentar al Dr. Armando Sánchez Argaez, investigador de nuestra Escuela, con la plática Subvariedades del espacio Moduli de haces estables.

El objetivo de esta plática es dar una breve introducción a la teoría de haces vectoriales estables sobre una variedad algebraica X, definir lo que es la variedad de moduli MX que parametriza haces estables y por último construir subvariedades Calabi-Yau de MX a las cuales les calcularemos invariantes topológicos importantes.

La cita es el próximo jueves 21 de Mayo a las 12 del día en la Sala de Juntas de la Unidad Oaxaca del IMATE-UNAM.

Los esperamos.

miércoles, 25 de marzo de 2009

Conferencia sobre trenzas

Grupos de trenzas y subgrupos finitos

Plática impartida por el Dr. John Guaschi

Jueves 2 de Abril, 1:00 PM

Sala de Video Arte
Centro Cultural Universitario
A un costado de la Rectoría
Entrada Libre

Resumen: Vamos estudiar los grupos de trenzas de Artin, así como una de sus generalizaciones, los grupos de trenzas de una superficie. En el caso de la esfera S², los grupos de trenzas Bn(S²) tienen una estructura particularmente interesante y hay elementos de orden finito. Este fenómeno había sido previsto ya por el físico P. Dirac en los años 30. Más recientemente, R. Brown y J. G. Thompson se interesaron sobre la realización del grupo de cuaternios de orden 8 como subgrupo de Bn(S²). Clasificaremos los subgrupos finitos de Bn(S²) y gracias a la mano amiga de la geometría, veremos que existe una relación fuerte entre ellos y los subgrupos finitos de SO(3).

miércoles, 18 de marzo de 2009

Sistemas pfaffianos de fibraciones de torcedura

Sistemas Pfaffianos de fibraciones de torcedura

En esta plática revisaremos cómo se logra identificar de manera explícita todos los sistemas pfaffianos de dimensiones bajas. Dichos sistemas surgen a partir de las fibraciones de torcedura en términos de cierta clasificación conocida. Si el tiempo lo permite, discutiremos brevemente el álgebra de Lie de simetrías infinitesimales correspondiente a estos sistemas.

Viernes 20 de marzo a las 12:00 hrs.
Sala de juntas del IMO-UNAM
Ponente: Dr. Ramiro Carrilllo

sábado, 28 de febrero de 2009

El mentiroso

Hugo miente siempre en martes, jueves y sábados y el resto de los días de la semana dice siempre la verdad. Si un día en particular mantenemos la siguiente conversación:

Yuyo: ¿Que día es hoy?
Hugo: Sábado
Yuyo: ¿Que día será mañana?
Hugo: Miércoles

¿En que día de la semana semana tuvimos esta conversación?

Mississippi (Respuesta)

Antes de leer esta solución, te recomiendo que leas nuestros artículos "Permutaciones", "Combinaciones" y "Permutaciones con elementos repetidos".

Dividamos el problema. Primero olvidémonos de las "S". Obtenemos una colección de letras con una "m", dos "p" y cuatro "i". Como sabes, el número de reordenamientos, donde identificamos letras iguales, de la colección anterior esta dado por D*1!*2!*4!=(1+2+4)! Por lo que D=105. Ahora, ya que tenemos un reordenamiento dado, tenemos que colocar las "S" entre las letras restantes, pero como no pueden estar juntas, sólo podemos colocar, a lo mas, una entre cada par de las otras letras. Por el momento no nos importa como están reordenadas las demás letras, sólo los espacio entre ellas. Entonces, las palabras que formemos serán de la forma

  • 0X0X0X0X0X0X0X0

Donde cada X marca un lugar donde esta algunas de las otras letras, y cada 0 indica un posible lugar donde estará una "S". Entonces basta tomar 4 de 8 posibles lugares, es decir, el numero de combinaciones de 8 en 4. Como sabes, este número esta dado por C(8,4)=8!/(4!4!)=70.

Entonces por cada reordenamiento del las letras (sin incluir las S), tendremos 70 posibilidades para acomodar las "S". De ahí que el numero de reordenamientos de la palabra MISSISSIPPI, donde dos "S" no aparecen juntas es 105*70=7350.

Permutaciones con elementos repetidos

En nuestro artículo anterior, hemos supuesto que todos los elementos son diferentes. Supongamos que queremos encontrar todos los reordenamientos de tres pelotas verdes y dos azules. Aquí tenemos cinco elementos {a1,a2,v1,v2,v3}, donde a1 es la primera pelota azul y a2, la segunda; de igual manera con las "v". Así que podríamos pensar que el número de reordenamientos es 5!

Sin embargo, debes tomar en cuenta que al momento de reordenar, para nosotros nos dará lo mismo el reordenamiento a1-v2-v3-a2-v1 que el reordenamiento a2-v1-v2-a1-v3 ¡De cualquier forma veremos (en este orden) una pelota azul, dos verdes, una azul y una verde!

El secreto esta en que no importa que orden tomemos las pelotas verdes, ni las pelotas azules. Digamos que el numero de reordenamientos donde identificamos pelotas del mismo color es D. Sabemos que el numero de reordenamientos (permutaciones) de las pelotas, sin identificarlas por color es 5!. Ahora por cada reordenamiento de las pelotas donde identificamos las pelotas por color, tenemos 2! reordenamientos de pelotas azules y 3! de verdes, tomandolas sin identificarlas por colores. Entonces, llegamos a la fórmula

  • D*2!*3!=5!

De donde D=10. Una extraña coincidencia con nuestro ejemplo de combinaciones ¿No crees? No tanto. En el problema anterior identificamos a los dos niños que seleccionamos y a los tres que dejamos fuera. Así, los dos niños que escogemos se vuelven "del mismo color" y los tres restantes "del otro color".

En general si tenemos k tipos diferentes de objetos, cada uno con n_i elementos, i=1,2,...,k, es fácil ver que el numero de reordenamientos D donde identificamos elementos del mismo tipo esta dado por:

  • D*(n_1)!*(n_2)!*...*(n_k)!=(n_1+n_2+...+n_3)!

Para darte un ejemplo, toma 5 monedas de 50 ctvs, tres de a peso y 4 de cinco. ¿Cuántas maneras tienes de reordenarlas? Aquí tenemos 3 tipos diferentes de objetos. El primero tipo tiene 5 elementos, así que n_1=5; el segundo tiene 3, así que n_2=3; y por ultimo, el tercer tipo tiene 4 objetos, así que n_3=4. El total de objetos esta dado por n_1+n_2+...+n_3=5+3+4=12. Así que el numero de reordenamientos D, donde identificamos monedas del mismo tipo esta dado por

  • D*5!*3!*4!=12!

De donde D=27, 720 ¡Son demasiados! Y los calculamos en pocos segundos, increíble, ¿no?.

Como ejercicio, toma dos monedas de peso y tres de dos, y trata de encontrar los 10 posibles reordenamientos, identificando monedas del mismo tipo.