Combinaciones

Imagina que tienes cinco pelotas de diferentes colores y quieres tomar dos de ellas: ¿de cuentas formas puedes hacerlo?

Lo primero que podríamos hacer es ordenarlas de alguna forma. Escojamos a los dos primero y olvidémonos del resto. ¡Ya está! ¿O no?...

¡No! En realidad tenemos que tomar en cuanta dos hechos:

• No importa en que orden tomemos a las dos primeras pelotas. Da lo mismo, por ejemplo, tomar una roja primero y una amarilla después, o una amarilla primero y una roja después. Recuerda que dos elementos diferentes se pueden reordenar de 2!

• No importa en que orden tomemos las últimas tres. Como sabes, el número de reordenamiento de 3 elementos diferentes es 3!

Entonces, si denotamos por "C" las combinaciones que podemos formar de dos elementos diferentes, a partir de un conjunto de cinco objetos diferentes, tenemos que C(2!)(3!)=5! Entonces C=10. Es decir, el numero de combinaciones que podemos tomar es 10. ¿Cuántas podemos tomar de tres elementos a partir del mismo conjunto que teníamos al principio? La respuesta es ¡10! Esto porque podemos aplicar el mismo razonamiento, solamente que tomando a los tres últimos.

En general, en un conjunto de n elementos diferentes, tenemos n! formas de reordenarlos. Si queremos tomar una combinacion de r de estos (recuerda que r debe estar entre cero y n), los formamos en una fila y escogemos los primeros r. Sin embargo, el orden de los primero r elementos no nos va a importar (como en el ejemplo, queremos los primeros dos, no importa si el orden es amarillo-rojo o rojo-amarillo) Tampoco nos va a importar el orden de los últimos (n-r) elementos. Así que para el número de combinaciones de r elementos diferentes en un conjunto de n elementos diferentes (lo cual denotaremos por C(n,r)), tendremos que

• C(n,r)*r!*(n-r)!=n!

Piensa en el primer ejemplo, con n=5 y r=2. Te darás cuenta que aunque la fórmula parece muy extraña, no lo es tanto. Despejando, obtenemos una fórmula muy conocida en tus clases de probabilidad:

• C(n,r)= n! / (r! * (n-r)!)

que como hemos dicho, es el número de combinaciones (donde el orden no importa), de r elementos diferentes a partir de un conjunto de n elementos diferentes o, de manera más corta, las combinaciones de n en r.

Para verificar esta formula, te invito a que encuentras todas combinaciones de 5 en 2 y verifiques que, en efecto, son 10.