Permutaciones

Imagina que tienes 3 niños, y quieres ponerlos en una fila: ¿de cuántas maneras puedes hacerlo?

Para la primera posición tienes 3 posibilidades. Una vez que haz escogido uno, para la segunda posición tienes 2 posibilidades y para la última tienes solamente una (pues ya haz escogido dos niños de tres). Esto es lo mismo que tomar las números {1,2,3} y reordenarlos. Sus posibles reordenamientos son:

• 1-2-3
• 1-3-2
• 2-1-3
• 2-3-1
• 3-1-2
• 3-2-1

Si notas, el número de reordenamientos es 3x2x1. Te invito a hacer el ejercicio con cuatro niños (o cuatro números) y te darás cuenta que el número de reordenamientos es 4x3x2x1. Para cinco, será 5x4x3x2x1 y así sucesivamente. Esta manera de multiplicar números es muy importante y recibe un nombre: factorial.

Para un numero entero "n", su factorial se denota "n!" (se lee n factorial) y se define de la siguiente forma:

• 0!=1
• n!=(n)(n-1)!

Por ejemplo,

• 1!=1(1-1)!=1(0!)=1(1)=1
• 2!=2(2-1)!=2(1!)=2(1)=2
• 3!=3(3-1)!=3(2!)=3(2)=6
• 4!=4(4-1)!=4(3!)=4(6)=24.

La idea detrás de esta definición (que llamamos recursiva) es que al final obtendremos que n!=n(n-1)(n-2)...(3)(2)(1), es decir multiplicaremos "n" por todos los números anteriores, hasta llegar a 1. Si notas, tenemos que un grupo de "n" niños, lo podemos reordenar de n! formas diferentes. Este concepto, lo denotamos por permutaciones de un conjunto.