El Diablo de Cantor

Quien ha trabajado alguna vez con conjuntos, conoce que existe un conjunto vacío: el conjunto que no tiene ningún elemento. Intuitivamente, podría definirse un nuevo conjunto, que lo contenga "todo", a este conjunto le llamaremos universal y lo denotaremos por la letra U. Pero ¿existirá realmente este conjunto? ¿Lo podremos definir de una manera congruente con todo lo que conocemos? Cantor (¿quien más?) dio una respuesta que, en mi opinión es muy bella.
Pero antes, definamos, para cada conjunto A, un nuevo conjunto llamado potencia de A, denotemosle por P(A), que consiste en todos y cada uno de los subconjuntos que podemos formar con cada uno de los elementos de A. Por ejemplo, consideremos A={1,2,3}. Su conjunto potencia sería {{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}. Es claro que A es un subconjunto de P(A), es decir, A esta contenido en P(A), pues cada elemento de A es un elemento de P(A). Si denotamos o(A) el numero de elementos de A, es claro que o(A) siempre es menor o igual que o(P(A)). En particular o(U)<=o(P(U)).
Pero por la definición de U, es claro que o(P(U))<=o(U).
Por tanto o(U)=o(P(U)).
Como U y P(U) tienen el mismo numero de elemento (obviamente infinito), podemos definir una relación, denotemosla por C, donde cada elemento a de U tenga asociado un elemento Ca, y solo uno, de P(U). Aquí es donde aparece el diablo de Cantor...
Como a cada elemento a de U podemos asociarle un elemento Ca de P(U), existen dos posibilidades (obvias, pero útiles): que a pertenezca a Ca o que no. Y llamamos D (el diablo de Cantor) a el conjunto de todas los elementos a de U que no pertenezcan a su conjunto asociado Ca. Pero como en esta relación C para cada a existe un Ca y viceversa, para D existe elemento de U, denotemosle d, asociado a D. Y aquí es donde el diablo empieza sus maldades.
Existe dos posibilidades. Primero: que d pertenezca a D, pero por la definición de D (el conjunto de todos los elemento a que no perteneces a su conjunto asociado Ca), !d no pertenece a D! Segundo: que d no pertenezca a D y por tanto, por definición de D, ¡d pertenece a D!.
Conclusión: d pertenece a D si y solo si d no pertenece a D. Por lo cual, no podemos pensar que exista un conjunto "universal". No se si Cantor le dio el nombre de diablo, pero mi maestro si. Supuestamente, esto da la demostración lógica de que no puede existir Dios (jejeje). Bueno, eso si pensamos a Dios como el conjunto de todas las cosas. Claro que no es la única (ni la mejor) manera de definir, si acaso se pudiera, a Dios. Pero lo que si nos muestra es que, aun lo conceptos más simples nos pueden llevar a cosas absurdas si no somos lo suficientemente curiosos para mirar detras de la cortina.